八字形的性质(八字形的性质证明模型)

初中数学：8字模型巧解三角形专项学习（精选好题）

大家好，我是徽乡小居。在教学和练习中，对8字型巧解题印象深刻，而且8字模型非常简单。于是精挑细选好题做成专项练习，学会后能减小思维难度，解题更轻快。8字型在三角形中也是举足轻重的，关键还是看看在解题中到底带来怎样的方便呀，是吧。

好，我们先把8字模型结论证明一下，非常简单的，请看题1.

1.如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．

证明：如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，

由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，

同理：在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，

∴∠A＋∠C＝∠B＋∠D．

看，就是这么简单！简单到学这个模型都没啥意思。但是我想说，有了这个8字型意识，后面的题才好做哦。

重要结论：“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；

总结升华：8字模型看起来特别简单，在复杂几何图形推导角时往往有巧妙的作用。因为模型像数字8，所以我们称为8字模型。

接下来用8字型练习一下吧。

2.如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（ ）.

A、40° B、65° C、75°D、115°

【答案】B.

这道题简单，看下一题开始妙解咯。

3.如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

解析：这道题可用外角的性质来解，我们这里介绍一下用8字模型解此题，很巧妙，请看：

如下图所示，连接CD，由8字模型可得：∠B+∠E=∠1+∠2.

在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC=180°

即∠A+∠ACO+∠1+∠2+∠ADO=180°

∴∠A+∠ACO+∠ADO+∠B+∠E=180°

即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

接下来，练一题感受一下8字模型。

4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为____________. （“缙云杯“试题）

【答案】180°

难度提升，开始做综合题。这样才能感受8字模型带来的好处！

5.（2015春•启东市校级月考）如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．

（1）试探求：∠F与∠B、∠D之间的关系？

（2）若∠B：∠D：∠F=2：4：x．求x的值．

【思路分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，如下图所示。 再根据对顶角相等和三角形内角和定理得到∠D+∠1=∠F+∠3，∠B+∠4=∠F+∠2，然后把两式相加即可得到∠F与∠B、∠D之间的关系；

（2）设∠B=2a，则∠D=4a，∠F=ax，利用（1）中的结论得到2ax=2a+4a，然后解关于x的方程即可．

【解题过程】（1）∵CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠D+∠1=∠F+∠3，（8字模型）

∠B+∠4=∠F+∠2，

∴∠B+∠D+∠1+∠4=2∠F+∠3+∠2，

∴∠F=1/2（∠B+∠D）；

（2）当∠B：∠D：∠F=2：4：x时，设∠B=2a，则∠D=4a，∠F=ax，

∵2∠F=∠B+∠D，

∴2ax=2a+4a

∴2x=2+4，

∴x=3．

明白了就可以练习下面一道综合题，有点难度的哟！

6.平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°.

（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小.

（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），

求∠ANC.

这道练习题有难度，特别是第2问。那我就把解题过程写一下吧。

为了写好这篇8字模型，查看了很多资料，精心筛选好题。网上很多资料都是收费的，这里我编完分享给大家。需要电子版点击作者头像，发送125，自动回复。暂时不需要的记得收藏，点赞，谢谢了。最后，欢迎大家评论、转发！更多内容下期见。

初中几何36模型之角“8”字型

如图所示：AC、BD相交于O，连接AD、BC，则：∠A+∠D=∠B+∠C，

注：(1)因为图形像“8”,故而称为“8”字型。（2）“8”字型通常在几何综合题中穿插使用

证明：∵∠AOB是△AOD的外角度，

∴∠A+∠D=∠AOB。

又∵∠B+∠C=∠AOB

∴∠A+∠D=∠B+∠C

计算角度：

如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=( )

如图，连接DE.

∴∠A+∠B= ∠AOE

又∵∠AOE是△OED的外角，

∴∠1+∠2=∠AOE

∴∠A+∠B=∠1+∠2(角“8”字型）

∴ ∠A+∠B+∠C +∠ADC +∠FEB +∠F

= ∠1+∠2 +∠C +∠ADC+ ∠FEB +∠F

=360°

模型练习

如图，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=（ ）

解答

方法一：如下图：

连接DE，

易得： ∠C+∠CAD=∠1+∠2, (角“8”字型）

∴ ∠CAD+ ∠B+ ∠C+ ∠ADB +∠BEC

=∠B +∠BEC +∠BAD +∠1 +∠2

=180°

方法二：如下图：

由三角形外角的性质，得:

∠C+∠E=∠BAC, ∠CAD+∠D=∠AFB，

由三角形的内角和定理，得：

∠B+∠BAC+∠AFB=180°

等量代换，得：∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

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初中数学几何捷径，全等三角形中的两大基本模型及其变式

初中数学几何题是有规律可循的，对于全等三角形更是如此。其中最为常见的便是公共边模型和公共角模型。（这两个模型基本包括了所有的模型，八字形这里不再讲述。）

站在出题者的角度，去思考问题。全等本质上描述的是两个图形的形状和大小完全相等。形状一般由角来控制，大小一般有边来控制。出题者往往通过平移、旋转、翻折等方式构造全等图形。

尝试用等式的性质去理解模型变式。

尝试用等式的性质去理解模型变式。（初三学习旋转，思考其与旋转角的关系）

下图中已勾选相应题目，务必认真思考题中图形对应哪个图形，出题者是如何命题的。这些题目难度不大，并且十分相似。但并不代表这些题目不重要。快速识别模型，并应用模型是关键。

通过8题与其他题目的比较，思考方程思维在几何中的应用（很多题目，已知和结论互换，仍然成立）

最后，在强调一遍，做题反思真的很重要。对于考试，我们只能尽力去掌握那些规律性的东西。尤其是常考的规律要务必熟练掌握。关注我，今后还会发布圆的六个基本模型。（我只发基础的模型，复杂的没有必要去记）

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