双八字形(双八字形怎么证明)
初中数学三角形倒角模型专题“8字模型”(含经典练习附答案)
初中学习看数学,数学学习看几何。初中数学由代数和几何两部分构成,几何模块由于抽象性和灵活性,很多题目要求学生有较高的理解和思维能力。数学考试中压轴题的几何探究问题属于很多同学头疼问题,也是拉开距离和体现能力水平的题目。
而三角形是研究初中几何图形的基础。初中几何学习三角形、四边形、圆、正多边形,每种图形的学习都要回归到基本的图形三角形。三角形的重要性不言而喻,熟练掌握三角形才能更好的学习初中几何。
今天重点分享三角形倒角模型“8字模型”(主页有讲解视频)
学习了“8字模型”的基本模型和两种拓展模型,以下是经典练习(附答案),让我们来检验下自己吧!
同学们可以好好练习。可免费赠送打印版文档,如有需要请关注私信作者。
初中数学:“永远不肯用”的外角
写在前面
本学期接近尾声,初一的几何也即将结束,而外角的引入,则让很多同学不适应,笔者取了这个标题“永远不肯用”,是因为很多同学头脑里对三角形内角和为180°充满执念,不愿接受新知识,所以,我开设了这一课,力图帮你有所突破!
一、知识回顾
三角形的一边与它邻边延长线所组成的角,叫做三角形的外角
如图,把△ABC的边AB延长,得到∠CBD,称为△ABC的一个外角.
“外角”是三角形的外角,
我们称某个角是某个三角形的外角,
而不称三角形某个角的外角.
三角形外角定理
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
如图,在△ABC中,∠CBD=∠A+∠C.
要找外角,我们可以形象的把基本图形生活化,整个外角模型就像一面小旗,外角就是旗杆和旗面下边缘的夹角.
二、专题突破
1、外角再认识
例:
如图,说出图中所有的外角,并指出其是哪个三角形的外角.
分析:
要确定某个角是某个三角形的外角,要先确定这个角的邻补角在哪个三角形中,它就是这个三角形的外角.比如∠1的邻补角是∠2,∠2在△CBE中,则∠1是△CBE的外角.再比如∠3的邻补角有2个,但均不在三角形中,所以不能作外角.而∠4的邻补角有2个,且均在三角形中,则∠4是两个三角形的外角.
解答:
∠1是△CBE的外角,∠2是△ABF的外角,
∠4和∠6是△ABF,△DEF的外角,
∠7是△DFE的外角,∠8是△CDA的外角.
2、借助外角,掌握基本模型
例:
(1)八字形模型
如图,试探究∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系.
分析:
这个模型的结论是∠A+∠B=∠C+∠D,很多同学利用两个三角形的内角和为180°,减去相等的两个对顶角,得出结论,稍显繁琐,我们不妨用外角来证.
证明:
在△AOB中,∠BOC=∠A+∠B
在△COD中,∠BOC=∠C+∠D
∴∠A+∠B=∠C+∠D
2、借助外角,掌握基本模型
例:
(2)平行线拐角模型(续)
如图,试探究∠B,∠BED,∠D之间的数量关系.
分析:
这个模型的结论是∠BED=∠B+∠D,之前我们过点E作平行线证明,但仔细观察这个结论,很像一个外角等于两个不相邻的内角和的形式.因此我们可以尝试把∠BED转化为外角,添加另一种辅助线.
证明:
如图,延长DE交AB于F,
在△BEF中,∠BED=∠B+∠1
∵AB∥CD,∴∠1=∠D
∴∠BED=∠B+∠D
2、借助外角,掌握基本模型
例:
(2)平行线拐角模型(续)
如图,试探究∠B,∠BED,∠D之间的数量关系.
分析:
这个模型的结论是∠B=∠BED+∠D,形式也类似于外角定理,因此,我们同样也可以将∠B转化为外角,这时自然可以发现,同位角和内错角均可实现.
证明:
设BE,CD交于点F
∵AB∥CD
∴∠1=∠B
在△EFD中,∠1=∠BED+∠D
∴∠B=∠BED+∠D
2、借助外角,掌握基本模型
例:
(3)规形图模型
如图,试探究∠A,∠B,∠C,∠BDC之间的数量关系.
分析:
这个模型很像数学工具圆规,故称规形图,结论是∠A+∠B+∠C=∠BDC,这个模型,笔者在2017年暑假常州行者聚会学习时,曾受益匪浅,后整理成文《暑假特辑12 从知识体系的顺序过渡,谈对“规形图”结论证明的再认识》,这里我们还是选择两种最经典的外角证法.
证明:
法1:
如图,延长BD交AC于点E
在△ABE中,∠1=∠A+∠B
在△DEC中,∠BDC=∠1+∠C
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C
法2:
如图,连接AD并延长至点E
在△ABD中,∠3=∠1+∠B
在△ADC中,∠4=∠2+∠C
∴∠BDC=∠3+∠4=∠1+∠B+∠2+∠C
=∠BAC+∠B+∠C
2、借助外角,掌握基本模型
例:
(4)翻折模型
如图,AD是△ABC的角平分线,E是BC延长线上一点,∠EAC=∠B,∠ADE与∠DAE相等吗?
分析:
本题的结论是∠1+∠2=2∠A,利用多边形内角和也能证明,简单过程如下,∠1+∠2=360°-(∠B+∠C)-(∠A'DE+∠A'ED)=360°-(180°-∠A)-(180°-∠A')=2∠A.但是我们也可以利用外角,翻折的常用辅助线作法是作对应点的连线,我们不妨连接AA'.
证明:
连接AA'
由题意得,A'D=AD,∠3=∠4
A'E=AE,∠5=∠6
在△ADA'中,∠1=∠3+∠4=2∠4
在△AEA'中,∠2=∠5+∠6=2∠6
∴∠1+∠2=2∠4+2∠6=2∠BAC
3、优解典例分析
例1:
如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
分析:
这样的题,粗看无法下手,这就需要利用外角,或从中抽离出基本模型,通过结论求解.下面给出2种解法.
解答:
法1:
如图,设AC交BE于M,AD交BE于N
在△MEC中,∠1=∠C+∠E
在△BND中,∠2=∠B+∠D
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°
法2:
如图,设BD,CE交于点F,
易知∠A+∠C+∠D=∠CFD,
在△BEF中,∠1=∠B+∠E
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠CFD=180°
3、优解典例分析
例2:
如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.
分析:
本题中,∠D,∠C,∠B在一个四边形中,∠E,∠F在一个四边形中,∠A,∠G在一个三角形中,位置很分散,这就需要将其尽可能靠拢,显然,∠A,∠G的和可以等于一个外角,想到设AB,GF的交点是H,接下来,就可以用多种方法了.
解答:
法1:
如图,设AB,GF交于点H
在△AGH中,∠A+∠G=∠1,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G
=∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠1
∵∠B+∠C+∠D+∠2=360°
∠3+∠E+∠F+∠1=360°
∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠1
=720°-(∠2+∠3)=540°
法2:
连接BF,∴∠A+∠G=∠1+∠2
∴∠A+∠CBA+∠C+∠D+∠E+∠EFH+∠G
=∠1+∠2+∠CBA+∠C+∠D+∠E+∠EFH
=∠CBF+∠BFE+∠FED+∠D+∠C=540°
3、优解典例分析
例3:
如图,AD是△ABC的角平分线,E是BC延长线上一点,∠EAC=∠B,∠ADE与∠DAE相等吗?
分析:
这是一道教科书上的原题,一道经典的外角题,我们拿到题时,首先思考,这两个角可以扮演什么角色,显然,图中∠DAE可看作组合角,即∠DAC与∠CAE的和,而∠ADE若看作内角,无法施展,联想到外角, 是∠B与∠BAD的和,则问题可解.
解答:
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD
在△ABD中,∠ADE=∠B+∠BAD
∠DAE=∠CAD+∠EAC
∵∠EAC=∠B
∴∠ADE=∠DAE
思考题
Rt△ABC中,∠C=90°,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在边AB上运动,则∠α、∠1、∠2之间的关系为:______;
(2)若点P运动到边AB的延长线上,则∠α、∠1、∠2之间有何关系?猜想并说明理由.
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编辑:刘子光
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